เลขฐาน

การนับ (Counting)

เลขฐานที่เราคุ้นเคยกันมากที่สุดคือเลขฐาน10 (Decimal number) เลขฐาน10คือการนับจำนวนแบบครั้งละ10 เลขตัวแรกของเลขฐาน10คือ0 หมายถึงไม่มีอะไร ต่อมาคือ1,2,3และต่อไปเรื่อยๆจนถึง9 (เลข1ไม่ใช่เลขตัวแรก)ดังนั้นเลขฐาน10ประกอบด้วยตัวเลขตั้งแต่0ถึง9 ตัวเลขแต่ละตัวเรียกว่า digit

DEC

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

เมื่อนับจำนวนถึงเลข9 ซึ่งครบ10ตัวแล้ว ก็จะต้องเริ่มนับ0ใหม่ในหลักหน่วยคือ10,11,12, 13,14,15,… ต่อไปเรื่อยๆจนถึง19 ส่วนตัวเลขด้านหน้าจะเปลี่ยนเป็น1 ซึ่งจะเลื่อนขึ้นมาอยู่ทางซ้ายมือ มีน้ำหนักเท่ากับสิบ แสดงถึงค่าที่ไม่เกิน20หรือการนับที่ยังไม่ครบ2รอบ เมื่อนับถึง19 ก็คือครบ2รอบ ตัวเลขจะเปลี่ยนเป็น20 และเมื่อนับครบ10รอบแล้ว การนับจำนวนถัดไปตัวเลขก็จะเพิ่มเป็น3หลักคือ100 ,เมื่อนับครบ100รอบแล้ว จำนวนถัดไปก็จะเปลี่ยนเป็น1000 เราจะเห็นว่าหลักที่มีค่ามากจะอยู่ทางซ้ายมือ ส่วนหลักน้อยสุดจะอยู่ทางขวา

OCT

0 1 2 3 4 5 6 7

10 11 12 13 14 15 16 17

20 21 22 23 24 25 26 27

30 31 32 33 34 35 36 37

40 41 42 43 44 45 46 47

50 51 52 53 54 55 56 57

60 61 62 63 64 65 66 67

70 71 72 73 74 75 76 77

100 101 102 103 104 105 106 107

110 111 112 113 114 115 116 117

เลขฐาน8(Octal number) คือการนับจำนวนแบบรอบละ8 คือตั้งแต่เลข0ถึงเลข7 เมื่อครบจำนวน8ตัวแล้วก็เริ่มนับใหม่คือ 10,11,12 จนถึง17 เมื่อนับครบ8รอบแล้ว การนับจำนวนถัดไป ตัวเลขก็จะเพิ่มเป็น3หลักคือ100 นั่นคือเมื่อนับจนถึง77 จากเลข77ก็จะกระโดดไปยัง100 เราจึงไม่เห็นเลข8และ9อยู่ในเลขฐานแปด

HEX

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C D E F (0-F)

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F (10-1F)

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2A 2B 2C 2D 2E 2F (20-2F)

30-3F ,40-4F ,50-5F, 60-6F ,70-7F ,80-8F, 90-9F,A0-AF,B0-BF

C0-CF ,D0-DF,E0-EF,F0-FF

เลขฐาน16(Hexadecimal number) เป็นการนับจำนวนแบบรอบละ16 คือตั้งแต่เลข0ถึงเลข F เมื่อครบจำนวน16ตัวแล้วก็เริ่มนับใหม่คือ10,11,12 จนถึง1F การนับครบ16รอบจะอยู่ที่15F เนื่องจากการนับจำนวนแบบรอบละ16 จะต้องใช้ตัวเลขหลักเดียวเท่านั้น เมื่อนับจำนวนครบ9แล้ว ตัวเลขถัดไปจะใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษคือ A,B,C,D,EและF เมื่อเทียบกับเลขฐาน10แล้ว A=10, B=11, C=12, D=13 , E=14 , F=15

เลขฐาน2(Binary number) ใช้ตัวย่อภาษาอังกฤษคือBINเลขฐาน2คือการนับจำนวนแบบรอบละ2 คือตั้งแต่เลข0ถึงเลข1 เมื่อครบจำนวน2แล้วก็เริ่มนับใหม่

การนับเลขฐานอื่นๆเราสามารถเข้าใจได้ไม่ยากและคิดในใจได้ แต่สำหรับเลขฐาน2 การนับจำนวนจะยากกว่ามาก ซึ่งอาจต้องเขียนลงกระดาษทุกครั้ง เพื่อทำให้นับง่ายขึ้น เลขฐาน2ประกอบไปด้วยเลข0กับ1เท่านั้น ตัวเลขฐาน2แต่ละdigit เรียกว่าบิต(bit) ตัวอย่างเช่น01100011 มีจำนวนเลข0และ1ทั้งหมด8ตัว เลขฐาน2ชุดนี้จะมีขนาด8บิต

บิตที่มีค่ามากสุดจะอยู่ทางซ้ายสุด(ไม่นับบิต0)เรียกว่าบิตสูง ส่วนบิตที่มีค่าน้อยที่สุดจะอยู่ด้านขวาสุดเรียกว่าบิตต่ำ เลขฐาน2นั้นถ้าไม่บอกชนิดของตัวเลขก็จะไม่ทราบว่าเป็นเลขฐานสอง เช่น1000 อาจหมายถึงเลขฐาน10 ที่มีค่าเท่ากับ1พันก็ได้ ดังนั้นถ้าต้องการสื่อความหมายว่าเป็นเลขฐานสองจะต้องเขียนเป็น1000(ฐาน2) เป็นต้น กรณีตัวเลขอื่นๆก็เช่นกัน เช่น 15 ถ้าไม่บอกชนิดของตัวเลขก็จะไม่ทราบว่าเป็นเลขฐานอะไร สำหรับการใช้งานในชีวิตประจำวัน จะใช้เลข10ในการนับจำนวน ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องระบุว่าเป็นเลขฐาน10 เนื่องจากเป็นที่เข้าใจกันอยู่แล้วว่าเป็นเลขฐาน10

10110011 (ฐาน2)     15 (ฐาน8)

รหัสBCD (Binary Code Decimal) เป็นรหัสที่ประกอบไปด้วยเลข0และ1 เช่นเดียวกับเลขฐาน2 รหัสBCD เป็นรหัสที่แปลงมาจากเลขฐาน10

1001 0011 (รหัสBCD)

ระบบเลขฐาน 10

ยกตัวอย่างเลขฐาน10คือ752 ,752(ฐาน10)ประกอบไปด้วยตัวเลข3ดิจิต คือเลข7 อยู่ในหลักร้อย,เลข5อยู่ในหลักสิบ และเลข2อยู่ในหลักหนึ่ง(หรือหลักหน่วย) เลข7อยู่ในตำแหน่งร้อย(หรือหลักร้อย)จึงมีค่าเท่ากับ700 ส่วนเลข5อยู่ในหลักสิบจึงมีค่าเท่ากับ50และเลข2อยู่ในหลัก1จึงมีค่าเท่ากับ2 [ หลัก1= หลักหน่วย= ตำแหน่งหน่วย(unit position) ]
เมื่อนำ700บวก50และบวก2 จึงได้เท่ากับ752 เลข7มีค่าน้ำหนักมากที่สุด และเลข2มีค่าน้ำหนักน้อยที่สุด ค่าน้ำหนักได้จากการนำเลขฐานมายกกำลัง n โดยที่ n คือตำแหน่งของดิจิต สำหรับเลขจำนวนเต็ม ตำแหน่งของดิจิตจะเป็นค่าบวกคือ 0,1,2,3…∞ ตัวอย่างเช่น ค่าน้ำหนักของดิจิต0คือ 10⁰ ซึ่งมีค่าเท่ากับ1, ค่าน้ำหนักของดิจิต1 คือ10¹ ซึ่งมีค่าเท่ากับ10, ค่าน้ำหนักของดิจิต2 คือ10² ซึ่งมีค่าเท่ากับ100 เป็นต้น

 

ตัวอย่างเลขฐาน10แบบทศนิยมเช่น368.49 ตำแหน่งดิจิตของเลขทศนิยมจะเป็นค่าลบคือ -1,-2,-3… -∞ เมื่อนำ10ยกกำลังค่าลบจะได้ค่าที่น้อยกว่า1 ค่าน้ำหนักของตัวเลขทศนิยมในแต่ละดิจิตคือ 0.1, 0.01, 0.001,… (ค่าน้ำหนักจะลดลง10เท่าไปเรื่อยๆ) จากรูปA2 เมื่อนำตัวเลขแต่ละดิจิตคูณกับค่าน้ำหนักของแต่ละดิจิต และนำค่าที่ได้มารวมกันก็จะได้เท่ากับ 368.49